Étant donné un repère cartésien (O, x, y, z), les coordonnées sphériques (ρ, ϕ, θ) d'un point P sont définies par :
ρ est la distance du point P au pôle O ;
ϕ est l'angle non orienté formé par les vecteurs z et OP, appelé zénith ou colatitude ;
θ est l'angle orienté formé les demis-plans ayant pour frontière l'axe vertical et contenant respectivement la demi-droite [O, x) et le point P. Si H est le projeté orthogonal de P dans le plan horizontal (O, x, y), alors θ peut être défini comme l'angle formé par les vecteurs x et OH.
Par convention, et pour assurer l'unicité pour ρ > 0, ϕ est compris entre 0 et π radians (0 et 180°) et θ entre 0 et 2π radians (0 et 360°), pour le repérage, mais θ et ϕ peuvent parcourir un intervalle plus important pour une courbe paramétrée ρ(θ, ϕ).
Ces notations sont les plus courantes en mathématiques ; en physique, les notations ϕ et θ sont généralement inversées, conformément au standard ISO 31-11 sur les « signes et symboles mathématiques à utiliser en sciences physiques et en technologie » La distance au pôle est parfois notée r.
ρ est la distance du point P au pôle O ;
ϕ est l'angle non orienté formé par les vecteurs z et OP, appelé zénith ou colatitude ;
θ est l'angle orienté formé les demis-plans ayant pour frontière l'axe vertical et contenant respectivement la demi-droite [O, x) et le point P. Si H est le projeté orthogonal de P dans le plan horizontal (O, x, y), alors θ peut être défini comme l'angle formé par les vecteurs x et OH.
Par convention, et pour assurer l'unicité pour ρ > 0, ϕ est compris entre 0 et π radians (0 et 180°) et θ entre 0 et 2π radians (0 et 360°), pour le repérage, mais θ et ϕ peuvent parcourir un intervalle plus important pour une courbe paramétrée ρ(θ, ϕ).
Ces notations sont les plus courantes en mathématiques ; en physique, les notations ϕ et θ sont généralement inversées, conformément au standard ISO 31-11 sur les « signes et symboles mathématiques à utiliser en sciences physiques et en technologie » La distance au pôle est parfois notée r.
Dans le plan vertical (O, z, OM), le système de coordonnées (ρ, ϕ) est polaire. Dans le plan horizontal (O, x, y), (ρ sin ϕ, θ) est aussi un système de coordonnées polaires.
soit r=OP θ = angle POz P' le projeté de P sur le plan xOy OP'= r sin(θ) ϕ = angle P'Ox
coordonnées cartésiennes du point P sont : z= r cos (θ) x= OP' cos (ϕ) = r sin (θ) cos (ϕ) y= OP' sin (ϕ) = r sin (θ) sin (ϕ)
soit r=OP θ = angle POz P' le projeté de P sur le plan xOy OP'= r sin(θ) ϕ = angle P'Ox
coordonnées cartésiennes du point P sont : z= r cos (θ) x= OP' cos (ϕ) = r sin (θ) cos (ϕ) y= OP' sin (ϕ) = r sin (θ) sin (ϕ)
On définit la base orthonormée directe comobile (uρ, uϕ, uθ) pour tout point M comme suit :
uρ est un vecteur unitaire de même direction et sens que OM ;
uϕ est le vecteur unitaire du plan vertical (O, z, OM) directement orthogonal à OM ;
uθ est le vecteur unitaire normal au plan vertical qui complète en une base directe.
La direction de ces vecteurs est généralement résumée ainsi : uϕ pointe dans le sens des ϕ croissants, uθ des θ croissants.
Dans cette base comobile, la position du point M s'écrit de manière simple :
uρ est un vecteur unitaire de même direction et sens que OM ;
uϕ est le vecteur unitaire du plan vertical (O, z, OM) directement orthogonal à OM ;
uθ est le vecteur unitaire normal au plan vertical qui complète en une base directe.
La direction de ces vecteurs est généralement résumée ainsi : uϕ pointe dans le sens des ϕ croissants, uθ des θ croissants.
Dans cette base comobile, la position du point M s'écrit de manière simple :
En physique, elle s'utilise pour exprimer les quantités cinématiques comme que vitesse et accélération.
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