Astrolabe 6

Récapitulatif de tous les tracés sur un même dessin de la mère et du tympan.

L'Araignée

1) D'abord une projection stéréographique de la voûte céleste avec la position d'étoiles connues. Comme les matériaux transparents n'étaient pas connus à l'époque de la fabrication des astrolables il fallut trouver une autre solution. Cette solution c'est cette grille de métal ajourée où chaque pointe correspond à la position d'un astre. Comme cette position varie au cours de l'année, l'araignée peut tourner autour de l'axe central pour positionner les étoiles correctement sur leurs coordonnées données par le tympan.
2) Ensuite une projection stéréographique de l'écliptique (trajet du soleil). C'est ce cercle excentré par rapport à l'axe central et qui est gravé des positions du Soleil dans le zodiaque.
On trouve en haut de l'araignée un picot qui dépasse (voir photos) et qui pointe sur le limbe la position du point vernal (endroit sur l'écliptique où se trouve le Soleil le jour de l'équinoxe de printemps).
Astrolabe et mesure du temps
Nous avons vu que l'astrolable peut être utilisé dans de multiples circonstances. En ce qui nous concerne, regardons rapidement comment il peut mesure le temps, en l'occurrence les heures.
Nous avons vu dans la partie II de cette étude qu'azimut et hauteur varient tous deux en permanence en dépendant de la latitude du lieu, de la déclinaison du soleil (date) et de l'heure. Nous avons donc trois paramètres : hauteur, jour, heure. Si nous connaissons deux de ces paramètres nous pouvons trouver le troisième. C'est le principe de calcul de l'heure avec un astrolabe.
Prenons un exemple : Nous voulons connaître l'heure d'un jour précis à un moment précis.
Nous allons, à l'aide de l'alidade trouver la hauteur du Soleil à ce moment précis. Nous connaissons le jour soit grâce à une table de conversion date-zodiaque soit directement. Repérons ce jour sur le cercle écliptique de l'araignée et, en la tournant, positionnons ce repère sur l'almucantarat correspondant à la hauteur du Soleil trouvée dans la première étape. Alignons maintenant l'ostensoir sur le jour et lisons l'heure directement sur le limbe. Facile, non ?
Sans ostensoir (astrolabes arabes) , il fallait passer par une étape intermédiaire qui était une mesure à partir de l'index de l'araignée.
Quant aux heures de nuit, le principe était le même en utilisant une étoile connue sur l'araignée de l'astrolable au lieu du Soleil.

Astrolabe 5

Ensuite, une projection stéréographique de la sphère locale telle que la voit un observateur placé à une latitude particulière. Cette projection variant justement en fonction de la latitude nous savons maintenant pourquoi il faut changer de tympan quand on se déplace le long d'un méridien. Les tympans portent une gravure de la latitude pour laquelle ils sont conçus.

Sphère locale : lignes de hauteur ou almucantarats :

Tous ces almucantarats sont gravés en degrés. Il y a une ligne tous les 2, 3 ou 5 degrés. Les almucantarats étant situés en haut de l'astrolabe tenu verticalement, on remarquera que les points cardinaux sont inversés : sud en haut, nord en bas, est à gauche et ouest à droite. Tous les almucantarats sont des cercles comme le prévoit la projection stéréographique mais certains sont tronqués du fait des dimensions limitées du tympan.

Sphère locale : lignes d'égal azimut

Astrolabe 4

La mère

A tout seigneur tout honneur. La mère peut être considérée comme le socle de l'instrument. C'est une plaque de métal ou de bois d'une dizaine de centimètres ou plus, légèrement creusée pour recevoir différents tympans qui devront être intervertis par l'observateur en fonction du lieu où il se trouve. Nous y reviendrons. Bien entendu, un seul tympan (le bon) sera utilisé. Selon les astrolabes (occidental ou arabe), la bordure de la mère (limbe) est gravée en degrés et/ou en heures. Ces heures sont au nombre de 24. Du haut en bas sur la partie droite pour les heures de l'après-midi et de haut en bas sur la partie droite pour les heures du matin.
L'instrument étant destiné à être utilisé verticalement pour les mesures de hauteur des astres (étoiles ou soleil), il est muni d'un anneau (trône) permettant de le suspendre.
Partie verso : cette partie servait de mémento et pouvait rappeler certaines conversions multiples (carré des ombres pour l'arpentage, heures légales, heures illégales...). En effet, nous nous en tenons à la mesure du temps mais un auteur arabe a recensé 1 761 problèmes pouvant être résolus avec l'instrument. Quoi qu'il en soit, la partie verso comprenait sur sa partie externe au moins deux échelles obligatoires et indispensables : une gravure en degrés permettant de déterminer la hauteur d'un astre à l'aide de l'alidade d'une part et un calendrier zodiacal qui donne chaque jour de l'année la position du Soleil dans le zodiaque.

L'alidade

Orientée vers un astre, l'alidade permet de viser une étoile en regardant au travers de ses deux pinnules. En ce qui concerne le Soleil, son orientation permet de faire passer la lumière au travers des deux pinnules (une seule position possible).

Le Tympan

Il n'est pas autre chose qu'un quadrillage du ciel qui va nous permettre de positionner un astre en fonction de sa position exacte dans le ciel et, partant de là, en ce qui nous concerne, de déterminer l'heure exacte.
Quels sont les éléments de ce quadrillage ?
A) D'abord, une projection stéréographique de la Terre en marquant ses cercles de lattitude traditionnels : tropique du cancer, équateur, tropique du capricorne.

A-1) Sphère terrestre : lignes des latitudes

A-2) Sphère terrestre : ligne des heures inégales

Toutes les lignes n'ont pas été dessinées. Elles sont au nombre de 11 et divisent donc cette partie du tympan en 12 secteurs. Les lignes marquent des heures inégales dans la mesure où elle divisent la partie claire de la journée en 12 heures qui n'ont pas la même longueur au cours de l'année.

Astrolabe 3

Sur l'image, imaginons une sphère coupée en son équateur par un plan P. Par projection stéréographique le point A sur la sphère a pour image le point a à l'intersection entre la droite SA et le plan P.

On peut voir sur l'image représentant une coupe transversale de notre sphère au niveau des pôles N et S et perpendiculaire à l'équateur. On y remarque que chaque point du cercle (disons le méridien) peut avoir une projection stéréographique sauf le point S. Bien entendu, j'emploie les mots pôles, méridien, équateur au hasard et sans arrière-pensée.... quoique...
Facile, la projection stéréographique, non ? C'est toujours facile quand d'autres l'ont inventée et qu'on ne parle pas de la mesure des angles.
La projection stéréographique a le double avantage de conserver les angles (deux courbes qui ont un angle sur S ont le même angle sur P) et de faire qu'un cercle sur S a pour image un cercle sur P.

- A défaut de connaissance de l'écrou, un axe et une cheville qui vont maintenir l'ensemble de l'instrument fermé.
L'alidade, système de visée souvent munie de deux pinnules.
- La mère (umm dans les astrolabes arabes), partie creusée dont le bord constitue le limbe et la partie creuse qui peut recevoir plusieurs Tympans. L'instrument est suspendu par un anneau (Trône de Dieu ou kursi en arabe).
- Différents tympans amovibles.
- L'araignée (ankabut en arabe)
- Une règle-Index (Ostensor), pas forcement présente sur tous les astrolabes

Astrolabe 2

Astrolabe arabe de 1208

L'astrolabe est avant tout un instrument destiné à lire l'heure solaire ou stellaire en un endroit donné, pour effectuer des observations astronomiques ou astrologiques. Quand il est destiné à être utilisé en voyage, il dispose d'un jeu de plusieurs plateaux, permettant d'ajuster la représentation du ciel local en fonction de la latitude du lieu.

L'intérêt d'une telle projection stéréographique de la voûte céleste est essentiellement pratique et esthétique : avec cette projection, tous les cercles (de hauteurs, d'azimuth,...) sont transformés en cercles, ce qui en facilite grandement le tracé, et conduit à un résultat beaucoup plus esthétique. Sans cette contrainte de réalisation, une projection centrale arbitraire pourrait être retenue.
La rete n'est qu'une armature destinée à supporter la matérialisation du zodiaque d'une part, et les pointeurs des principales étoiles d'autre part. Cette armature est souvent une véritable œuvre d'art à elle seule. Elle tend à paraître symétrique par rapport à l'axe des solstices, alors que les positions stellaires ne le sont naturellement pas.
L'astrolabe est le plus souvent dimensionné de manière à ce que le cercle du zodiaque soit pratiquement tangeant à la bordure extérieure. Les étoiles représentées sont donc restreintes à celles située au dessus du tropique du Capricorne. Sirius est donc toujours représentée, souvent Antarès, mais généralement pas Fomalhaut.

L'astrolabe a probablement été inventé par Hipparque puis décrit par Ptolémée. L'astrolabe en laiton est originaire de Perse (Iran) et amélioré dans le monde islamique. À cet égard, Sigrid ‎Hunke n’hésite pas à affirmer « Alors que les Grecs ne connaissaient que fort peu de manières ‎de s’en servir, un ouvrage d’Al-Khovaresmi [mort en 847] sur l’astrolabe en cite déjà quarante-‎trois… ».
Selon Ibn Nadim, le premier astrolabe arabe était fait par Ibrahîm Ibn Habîb Al-‎Fazâri [mort en 188 H.]‎, ‎puis des traités succédèrent à tel point qu’on peut assigner à chaque ‎astronome arabe au moins un ou deux ouvrages sur cet instrument. Le résultat est une grande ‎quantité de traités sur l’astrolabe, la plupart sous forme de manuscrits éparpillés dans les ‎bibliothèques nationales et internationales. Ces traités peuvent être réparties en deux catégories : ‎les traités de conception, d’une part, et les traités d’utilisation de l’autre. ‎
A titre d’exemple, l’Etude exhaustive des méthodes possibles pour construire l’astrolabe. ‎est un ouvrage dans lequel Al-Birûnî [362-440 H / 973-1048] « présente encore des modèles ‎servant à montrer la marche du soleil et de la lune (boîte à lune) comme aussi le mécanisme des ‎éclipses ». ‎Et après l’insertion des planches des planètes dans l’astrolabe par les astronomes ‎arabes, ils parvenaient à calculer le mouvement apparent des planètes connues, avec une ‎précision impressionnante. Ibn al-Zerqellu [1029?-1087?] trouva même le moyen de réduire ces ‎diverses planches à une seule ‘planche des sept planètes’, dont l’avers en porte quatre et le revers ‎trois, le même tracé d’épicycle servant pour toutes. La plus grande curiosité de cette ‎œuvre, selon Dominique Urvoy, est le dessin des orbites non pas circulaires mais ovoïdes ‎‎(baydi) [sic].
Nombre de chercheurs et d'historiens de la science ont cité l'idée que du matériel ‎astronomique arabe était bel et bien exporté ou importé en Occident médiéval. A cet égard, ‎Sedillot nous apprend « qu'au Moyen Age, l’instrument astronomique par excellence est ‎l’astrolabe qu’en pays d’Islam, savants ingénieux et artistes habiles perfectionnent à l’envie ».
‎Sigrid Hunke mentionne elle aussi que l’astrolabe fut chaleureusement accueilli par l’occident. ‎L'astrolabe atteint l'Europe vers 970, par l'intermédiaire du moine Gerbert d'Aurillac, qui le ramena d'Espagne, d'où il rapporta nombre de connaissances scientifiques transmises par les Arabes, qui occupaient en partie la péninsule ibérique.Pendant ‎trois siècles on se contenta de les importer. Les Musulmans, sachant combien les Chrétiens ‎recherchaient leurs articles, en fabriquaient tout spécialement pour l’exportation qu’ils ornaient ‎d’inscriptions latines.
L'auteur anglais Geoffrey Chaucer (v.1343–1400) a écrit un traité sur l'astrolabe pour son fils. Au XVe siècle, le fabricant d'instrument français Jean Fusoris (v.1365–1436) a commencé à les vendre dans son magasin à Paris, avec des cadrans solaires portatifs et d'autres instruments scientifiques populaires à cette époque.
Ce sont les portugais qui aboutissent à partir de 1485 à des progrès décisifs en adaptant l'astrolabe à la navigation maritime et en dressant des tables (regimientos) permettant de calculer la déclinaison magnétique. Le problème de la longitude ne sera résolu qu'avec l'invention du chronomètre (2e moitié du XVIIIe siècle).

Astrolabe 1

Αστρολάβος , المقنطرة ou اسطرلاب

Un astrolabe se compose d'un disque gradué en degrés (rapporteur) avec un bras tournant attaché à son centre, l'alidade. La marque 0° sur le cercle est alignée avec l'horizon. L'alidade pivote sur son axe et est pointée vers le soleil ou une étoile afin de lire l'angle représentant la hauteur du soleil ou d'une étoile majeure connue par rapport à l'horizon, sur les repères du disque. L'astrolabe se tient verticalement à la main par un anneau ; les astres sont visés en tournant le viseur jusqu'à ce que l'un d'eux soit vu par les deux bouts. La valeur en degrés obtenue par le viseur sur l'arc peut être convertie en degrés de latitude du point d'observation. Si une étoile, ou tout autre corps céleste, est visé à l'extrémité du bras mobile, la position de l'étoile peut être lue (« prise ») sur le cercle gradué. L'étymologie grecque du nom provient de cette action : astro = étoile, labe = prendre.
Cette fonction est la seule réalisée par les « astrolabes nautiques », utilisés pour la navigation maritime, et qui ne présentent pas la partie centrale.

Le centre de l'astrolabe est un abaque permettant de déterminer l'heure à partir de la hauteur de l'astre, et de là, sa direction.
Sur le plateau (mater) sont gravées des lignes qui représentent la projection stéréographique de la sphère céleste, uniquement valides pour une latitude géographique donnée.
Sur cette grille de coordonnées tourne le rete, qui est un cadre avec des points représentant les étoiles fixes.
Quand le rete tourne en fonction du temps local, la position des étoiles qu'il matérialise se déplace sur le plateau mater, où peuvent être lues les hauteurs et les directions. Réciproquement, l'instrument peut être ajusté à la position mesurée, le temps pouvant alors être lu sur l'échelle.
La hauteur de l'astre visée étant connue, on fait tourner le rete jusqu'à ce que le repère du rete correspondant à l'astre coïncide avec la graduation de la hauteur sur la mater. Dans cette position, l'astrolabe est réglé à l'heure locale, et la direction de l'axe peut être lue sur l'autre famille de graduation de la mater. Pour une lecture correcte, il faut savoir si l'astre visé est ascendant (à l'orient) ou descendant (à l'occident), ce qui ne pose guère de problème à l'observateur entraîné.

Gravitation 7

High-precision test of general relativity by the Cassini space probe (artist's impression): radio signals sent between the Earth and the probe (green wave) are delayed by the warping of space and time (blue lines) due to the Sun's mass.

Einstein modified his original field equations to include a cosmological term proportional to the metric

The constant Λ is called the cosmological constant. Since Λ is constant, the energy conservation law is unaffected.
The cosmological constant term was originally introduced by Einstein to allow for a static universe (i.e., one that is not expanding or contracting). This effort was unsuccessful for two reasons: the static universe described by this theory was unstable, and observations of distant galaxies by Hubble a decade later confirmed that our universe is, in fact, not static but expanding. So Λ was abandoned, with Einstein calling it the "biggest blunder [he] ever made".[3] For many years the cosmological constant was almost universally considered to be 0.
Despite Einstein's misguided motivation for introducing the cosmological constant term, there is nothing inconsistent with the presence of such a term in the equations. Indeed, recent improved astronomical techniques have found that a positive value of Λ is needed to explain some observations.
Einstein thought of the cosmological constant as an independent parameter, but its term in the field equation can also be moved algebraically to the other side, written as part of the stress-energy tensor:

The constant

is called the vacuum energy. The existence of a cosmological constant is equivalent to the existence of a non-zero vacuum energy. The terms are now used interchangeably in general relativity.

Gravitation 6

Newtonian (red) vs. Einsteinian orbit (blue) of a lone planet orbiting a star

Precession of apsides

In general relativity, the apsides of any orbit (the point of the orbiting body's closest approach to the system's center of mass) will precess—the orbit is not an ellipse, but akin to an ellipse that rotates on its focus, resulting in a rose curve-like shape (see image). Einstein first derived this result by using an approximate metric representing the Newtonian limit and treating the orbiting body as a test particle. For him, the fact that his theory gave a straightforward explanation of the anomalous perihelion shift of the planet Mercury, discovered earlier by Urbain Le Verrier in 1859, was important evidence that he had at last identified the correct form of the gravitational field equations.
The effect can also be derived by using either the exact Schwarzschild metric (describing spacetime around a spherical mass) or the much more general post-Newtonian formalism. It is due to the influence of gravity on the geometry of space and to the contribution of self-energy to a body's gravity (encoded in the nonlinearity of Einstein's equations). Relativistic precession has been observed for all planets that allow for accurate precession measurements (Mercury, Venus and the Earth), as well as in binary pulsar systems, where it is larger by five orders of magnitude.

A representation of the geodetic effect.

Geodetic precession and frame-dragging

Several relativistic effects are directly related to the relativity of direction. One is geodetic precession: the axis direction of a gyroscope in free fall in curved spacetime will change when compared, for instance, with the direction of light received from distant stars—even though such a gyroscope represents the way of keeping a direction as stable as possible ("parallel transport"). For the Moon-Earth-system, this effect has been measured with the help of lunar laser ranging. More recently, it has been measured for test masses aboard the satellite Gravity Probe B to a precision of better than 1 percent.
Near a rotating mass, there are so-called gravitomagnetic or frame-dragging effects. A distant observer will determine that objects close to the mass get "dragged around". This is most extreme for rotating black holes where, for any object entering a zone known as the ergosphere, rotation is inevitable. Such effects can again be tested through their influence on the orientation of gyroscopes in free fall. Somewhat controversial tests have been performed using the LAGEOS satellites, confirming the relativistic prediction. A precision measurement is the main aim of the Gravity Probe B mission, with the results expected in September 2008.

Gravitation 5

Deflection of light (sent out from the location shown in blue) near a compact body (shown in gray)

General relativity predicts that the path of light is bent in a gravitational field; light passing a massive body is deflected towards that body. This effect has been confirmed by observing the light of stars or distant quasars being deflected as it passes the Sun.

This and related predictions follow from the fact that light follows what is called a light-like or null geodesic—a generalization of the straight lines along which light travels in classical physics. Such geodesics are the generalization of the invariance of lightspeed in special relativity. As one examines suitable model spacetimes (either the exterior Schwarzschild solution or, for more than a single mass, the post-Newtonian expansion), several effects of gravity on light propagation emerge. Although the bending of light can also be derived by extending the universality of free fall to light, the angle of deflection resulting from such calculations is only half the value given by general relativity.
Closely related to light deflection is the gravitational time delay (or Shapiro effect), the phenomenon that light signals take longer to move through a gravitational field than they would in the absence of that field. There have been numerous successful tests of this prediction. In the parameterized post-Newtonian formalism (PPN), measurements of both the deflection of light and the gravitational time delay determine a parameter called γ, which encodes the influence of gravity on the geometry of space.

Gravitation 4

Schematic representation of the gravitational redshift of a light wave escaping from the surface of a massive body

Assuming that the equivalence principle holds, gravity influences the passage of time. Light sent down into a gravity well is blueshifted, whereas light sent in the opposite direction (i.e., climbing out of the gravity well) is redshifted; collectively, these two effects are known as the gravitational frequency shift. More generally, processes close to a massive body run more slowly when compared with processes taking place further away; this effect is known as gravitational time dilation.
Gravitational redshift has been measured in the laboratory and using astronomical observations. Gravitational time dilation in the Earth's gravitational field has been measured numerous times using atomic clocks, while ongoing validation is provided as a side-effect of the operation of the Global Positioning System (GPS). Tests in stronger gravitational fields are provided by the observation of binary pulsars. All results are in agreement with general relativity. However, at the current level of accuracy, these observations cannot distinguish between general relativity and other theories in which the equivalence principle is valid.

Gravitation 3

Having formulated the relativistic, geometric version of the effects of gravity, the question of gravity's source remains. In Newtonian gravity, the source is mass. In special relativity, mass turns out to be part of a more general quantity called the energy-momentum tensor, which includes both energy and momentum densities as well as stress (that is, pressure and shear). Using the equivalence principle, this tensor is readily generalized to curved space-time. Drawing further upon the analogy with geometric Newtonian gravity, it is natural to assume that the field equation for gravity relates this tensor and the Ricci tensor, which describes a particular class of tidal effects: the change in volume for a small cloud of test particles that are initially at rest, and then fall freely. In special relativity, conservation of energy-momentum corresponds to the statement that the energy-momentum tensor is divergence-free. This formula, too, is readily generalized to curved spacetime by replacing partial derivatives with their curved-manifold counterparts, covariant derivatives studied in differential geometry. With this additional condition—the covariant divergence of the energy-momentum tensor, and hence of whatever is on the other side of the equation, is zero— the simplest set of equations are what are called Einstein's (field) equations:

On the left-hand side is a specific divergence-free combination of the Ricci tensor Rab and the metric known as the Einstein tensor. In particular,

is the curvature scalar. The Ricci tensor itself is related to the more general Riemann curvature tensor as

On the right-hand side, Tab is the energy-momentum tensor. All tensors are written in abstract index notation. Matching the theory's prediction to observational results for planetary orbits (or, equivalently, assuring that the weak-gravity, low-speed limit is Newtonian mechanics), the proportionality constant can be fixed as κ = 8πG/c4, with G the gravitational constant and c the speed of light. When there is no matter present, so that the energy-momentum tensor vanishes, the result are the vacuum Einstein equations,

There are alternatives to general relativity built upon the same premises, which include additional rules and/or constraints, leading to different field equations. Examples are Brans-Dicke theory, teleparallelism, and Einstein-Cartan theory.

Gravitation 2

As intriguing as geometric Newtonian gravity may be, its basis, classical mechanics, is merely a limiting case of (special) relativistic mechanics. In the language of symmetry: where gravity can be neglected, physics is Lorentz invariant as in special relativity rather than Galilei invariant as in classical mechanics. (The defining symmetry of special relativity is the Poincaré group which also includes translations and rotations.) The differences between the two become significant when we are dealing with speeds approaching the speed of light, and with high-energy phenomena.

With Lorentz symmetry, additional structures comes into play. They are defined by the set of light cones (see the image on the left). The light-cones define a causal structure: for each event A, there is a set of events that can, in principle, either influence or be influenced by A via signals or interactions that do not need to travel faster than light (such as event B in the image), and a set of events for which such an influence is impossible (such as event C in the image). These sets are observer-independent. In conjunction with the world-lines of freely falling particles, the light-cones can be used to reconstruct the space-time's semi-Riemannian metric, at least up to a positive scalar factor. In mathematical terms, this defines a conformal structure.
Special relativity is defined in the absence of gravity, so for practical applications, it is a suitable model whenever gravity can be neglected. Bringing gravity into play, and assuming the universality of free fall, an analogous reasoning as in the previous section applies: there are no global inertial frames. Instead there are approximate inertial frames moving alongside freely falling particles. Translated into the language of spacetime: the straight time-like lines that define a gravity-free inertial frame are deformed to lines that are curved relative to each other, suggesting that the inclusion of gravity necessitates a change in spacetime geometry.
A priori, it is not clear whether the new local frames in free fall coincide with the reference frames in which the laws of special relativity hold—that theory is based on the propagation of light, and thus on electromagnetism, which could have a different set of preferred frames. But using different assumptions about the special-relativistic frames (such as their being earth-fixed, or in free fall), one can derive different predictions for the gravitational redshift, that is, the way in which the frequency of light shifts as the light propagates through a gravitational field (cf. below). The actual measurements show that free-falling frames are the ones in which light propagates as it does in special relativity. The generalization of this statement, namely that the laws of special relativity hold to good approximation in freely falling (and non-rotating) reference frames, is known as the Einstein equivalence principle, a crucial guiding principle for generalizing special-relativistic physics to include gravity.
The same experimental data shows that time as measured by clocks in a gravitational field—proper time, to give the technical term—does not follow the rules of special relativity. In the language of spacetime geometry, it is not measured by the Minkowski metric. As in the Newtonian case, this is suggestive of a more general geometry. At small scales, all reference frames that are in free fall are equivalent, and approximately Minkowskian. Consequently, we are now dealing with a curved generalization of Minkowski space. The metric tensor that defines the geometry—in particular, how lengths and angles are measured—is not the Minkowski metric of special relativity, it is a generalization known as a semi- or pseudo-Riemannian metric. Furthermore, each Riemannian metric is naturally associated with one particular kind of connection, the Levi-Civita connection, and this is, in fact, the connection that satisfies the equivalence principle and makes space locally Minkowskian (that is, in suitable "locally inertial" coordinates, the metric is Minkowskian, and its derivatives and the connection coefficients vanish).

Gravitation 1

Penser, comme Aristote, que sur Terre (et avec l'hypothèse du vide atmosphérique) plus un corps est lourd, plus il tombe vite est faire une confusion entre quantité et qualité :
Quantité : prenons en main un corps attiré par la Terre, et décomposons-le, par une vue de l'esprit, en une myriade de « micro briques de matière ». Chaque « brique de matière », étant attirée par la Terre, exerce une force, nommée poids, sur la main et le grand nombre de briques exerçant ce poids donne le poids global. Le poids global d'un objet dépend de la quantité de matière.
Qualité : lâchons ce corps (supposé fait d'une seule matière), il tombe. Chaque micro-brique tombe parce qu'elle est attirée par la Terre, seulement à cause de cela et acquiert une certaine vitesse, dépendant de son inertie, sans tenir compte de la présence éventuelle d'autres briques alentour. Donc, quel que soit le nombre de micro-briques, toutes tombent simultanément (car toutes faites de la même matière, donc identiques avec un bon découpage en micro-briques), à la même vitesse : c'est la vitesse du corps entier, qui ne dépend donc pas du nombre de briques et donc ne dépend pas de sa masse. Cette vitesse est une qualité du corps totalement indépendante de la quantité de matière.

Ainsi, bien qu'elles soient intimement associées dans nos expériences et nos sensations courantes, les deux notions (poids et vitesse de chute) sont bien distinctes.
La distinction ci-dessus entre qualité et quantité n'explique pas qu'en l'absence d'air, du bois et du métal tombent exactement à la même vitesse. Ce fait expérimental laisse penser que ces deux matières différentes (ainsi que toutes les autres) ont en commun la même qualité. Les expérimentations et les réflexions sur ce sujet ont donné le principe d'équivalence.
En termes plus précis, plus complets et surtout plus scientifiques que cette introduction intuitive, la relativité générale étudie la gravitation, et comme « qualité commune » aux corps dans le problème posé ci-dessus, elle permet de proposer « l'énergie » ; bien qu'en toute rigueur cette théorie admette comme hypothèse l'existence de cette « qualité commune » (en admettant le principe d'équivalence) et qu'elle exclue toute idée d'attraction et de force gravitationnelle.
En laissant tomber simultanément des objets de poids, de formes ou de volumes très différents, par exemple une balle de mousse et une bille de métal de même diamètre, depuis une hauteur d'homme, on peut penser qu'il y a égalité des vitesses de chute. Mais quand la hauteur de chute est plus grande, des différences perceptibles apparaissent, du fait des frottements de l'air. Galilée sera le premier à comprendre que c'en est la seule cause.

Deux corps ponctuels de masse MA et MB s'attirent avec une force proportionnelle à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette force a pour direction la droite passant par le centre de gravité de ces deux corps.

Énergie potentielle de gravitation.

Énergie potentielle d'une sphére homogène.

Problems with Newton's theory: Newton's description of gravity is sufficiently accurate for many practical purposes and is therefore widely used. Deviations from it are small when the dimensionless quantities φ/c2 and (v/c)2 are both much less than one, where φ is the gravitational potential, v is the velocity of the objects being studied, and c is the speed of light.[4] For example, Newtonian gravity provides an accurate description of the Earth/Sun system, since where rorbit is the radius of the Earth's orbit around the Sun.
In situations where either dimensionless parameter is large, then general relativity must be used to describe the system. General relativity reduces to Newtonian gravity in the limit of small potential and low velocities, so Newton's law of gravitation is often said to be the low-gravity limit of general relativity.

Coordonées Sphériques 2

Les coordonnées géographiques, utilisées pour se repérer sur la surface de la Terre, sont une variante des coordonnées sphériques. Elles utilisent les coordonnées h (altitude), l (latitude) et λ (longitude), qui sont reliées aux coordonnées sphériques par :

où ρg(l, λ) est la distance au centre de la Terre du point du géoïde situé dans la direction (l, λ). Lorsque l'ellipsoïde de révolution est utilisé à la place du géoïde, h est alors la hauteur géodésique ou hauteur ellipsoïdale, encore nommée hauteur au dessus de l'ellipsoïde; elle diffère de l'altitude d'environ +/-100 m au plus. La hauteur ellipsoïdale est une grandeur purement géométrique, l'altitude est une grandeur physique. La grandeur h est la distance mesurée le long de la normale à l'ellipsoïde entre ce dernier et le point considéré.

Coordonées Sphériques 1

Étant donné un repère cartésien (O, x, y, z), les coordonnées sphériques (ρ, ϕ, θ) d'un point P sont définies par :
ρ est la distance du point P au pôle O ;
ϕ est l'angle non orienté formé par les vecteurs z et OP, appelé zénith ou colatitude ;
θ est l'angle orienté formé les demis-plans ayant pour frontière l'axe vertical et contenant respectivement la demi-droite [O, x) et le point P. Si H est le projeté orthogonal de P dans le plan horizontal (O, x, y), alors θ peut être défini comme l'angle formé par les vecteurs x et OH.
Par convention, et pour assurer l'unicité pour ρ > 0, ϕ est compris entre 0 et π radians (0 et 180°) et θ entre 0 et 2π radians (0 et 360°), pour le repérage, mais θ et ϕ peuvent parcourir un intervalle plus important pour une courbe paramétrée ρ(θ, ϕ).
Ces notations sont les plus courantes en mathématiques ; en physique, les notations ϕ et θ sont généralement inversées, conformément au standard ISO 31-11 sur les « signes et symboles mathématiques à utiliser en sciences physiques et en technologie » La distance au pôle est parfois notée r.

Dans le plan vertical (O, z, OM), le système de coordonnées (ρ, ϕ) est polaire. Dans le plan horizontal (O, x, y), (ρ sin ϕ, θ) est aussi un système de coordonnées polaires.
soit r=OP θ = angle POz P' le projeté de P sur le plan xOy OP'= r sin(θ) ϕ = angle P'Ox
coordonnées cartésiennes du point P sont : z= r cos (θ) x= OP' cos (ϕ) = r sin (θ) cos (ϕ) y= OP' sin (ϕ) = r sin (θ) sin (ϕ)

On définit la base orthonormée directe comobile (uρ, uϕ, uθ) pour tout point M comme suit :
uρ est un vecteur unitaire de même direction et sens que OM ;
uϕ est le vecteur unitaire du plan vertical (O, z, OM) directement orthogonal à OM ;
uθ est le vecteur unitaire normal au plan vertical qui complète en une base directe.
La direction de ces vecteurs est généralement résumée ainsi : uϕ pointe dans le sens des ϕ croissants, uθ des θ croissants.
Dans cette base comobile, la position du point M s'écrit de manière simple :

En physique, elle s'utilise pour exprimer les quantités cinématiques comme que vitesse et accélération.

Coordonnées Polaires 5

Une conique avec un foyer confondu avec le pôle et un autre sur l'axe polaire (0°), le grand axe étant confondu avec l'axe polaire) est donnée par l'équation:

où e est l'excentricité et p est le demi-latus rectum (la longueur du segment perpendiculaire au grand axe, du foyer (différent du pôle) à la courbe). Si e>1 l'équation définit une hyperbole, si e=1, une parabole, si e<1 e="0">

Les coordonnées polaires peuvent aussi être étendues en utilisant les coordonnées (ρ, φ, θ), où ρ désigne la distance du point au pôle, φ est l'angle depuis l'axe des z (appelé colatitude ou ou zénith, compris entre 0° et 180°) et θ est l'angle depuis l'axe des x (comme dans les coordonnées polaires, entre 0° et 360°). Ce système de coordonnées est appelé système de coordonnées sphériques et il est similaire au système utilisé pour se repérer sur la surface de la Terre, où la latitude est le complémentaire de φ (c'est-à-dire 90°-φ) et la longitude mesurée par θ-180°.[16]
Les trois coordonnées sphériques peuvent être converties en coordonnées cartésiennes par:

Coordonnées Polaires 4

Une rosace est une courbe très connue qui ressemble à des pétales de fleurs, et qui peut être exprimée par une simple équation polaire:
r(θ) = acos(kθ + φ0)
Pour n'importe quelle constante réelle φ0. Si k est un entier, cette équation produit une fleur avec 2k pétale(s) si k est paire, et k pétale(s ) si k est impaire. Si k est un nombre rationnel, l'équation produit une courbe en forme de fleur dont les pétales se chevauchent. Ces équations ne peuvent fournir de courbe en forme de fleur à 2,6,10,14,... pétales. La constante réelle a détermine la longueur d'un pétale.

La spirale d'Archimède est une spirale célèbre découverte par Archimède, qui peut être également exprimée à partir d'une équation polaire simple:
r(θ) = a + bθ
Changer le paramètre a tourne la spirale, alors que b détermine la distance entre les bras, qui pour une spirale donnée est constante. Une spirale d'Archimède possède deux bras, l'un pour θ>0 et l'autre pour θ<0.>

Coordonnées Polaires 3

L'équation général d'un cercle de centre (r0;φ) est:

Dans de nombreux cas, cette équation est simplifiée. Par exemple, pour un cercle centré sur le pôle et de rayon a:
r(θ) = a



Une droite radiale (qui passe par le pôle) est représentée par l'équation:

où φ est l'angle de la droite. On a φ=arctan m où m est la pente de la droite en coordonnées cartésiennes.
Une droite non radiale qui coupe perpendiculairement au point (r0;φ) la droite radiale θ = φ a pour équation:

Coordonnées Polaires 2

Pour déterminer l’angle θ, nous devons distinguer deux cas :
Pour r=0, l’angle peut prendre n’importe quelle valeur réelle.
Pour r≠0, pour obtenir une unique valeur de θ, on se restreint à l’intervalle [0;2π[ (ou de manière équivalente ]-π;π]).
Pour obtenir θ dans l’intervalle [0;2π[, on utilise les formules suivantes (arctan désigne la réciproque de la fonction tangente) :

Une équation qui définit une courbe algébrique exprimée en coordonnées polaires est connue sous le nom d’équation polaire. Dans la plupart des cas, une telle équation peut être spécifié en définissant r comme une fonction de θ. La courbe résultante est alors formée des points du type (r(θ);θ) et peut être vu comme le graphe de la fonction polaire r.

Différentes formes de symétries peuvent être déduite de l’équation d’une fonction polaire. Si r(-θ)=r(θ) alors la courbe est symétrique par rapport à l’axe horizontal (les demi-droites 0° et 180°). Si r(π-θ)=r(θ), la courbe sera symétrique par rapport à l’axe vertical (90° et 270°).
À cause du caractère circulaire des coordonnées polaires, beaucoup de courbes peuvent être décrite par une équation polaire simple, alors que leur équation cartésienne serait beaucoup plus compliquée. Quelques courbes polaires les plus connues sont : la spirale d'Archimède, le lemniscate de Bernoulli, le limaçon de Pascal ou encore la cardioïde.

Coordonnées polaires 1

Chaque point du plan est déterminé par les coordonnées polaires, qui sont la coordonnée radiale et la coordonnée angulaire. La coordonnée radiale (souvent notée r ou ρ, et appelé rayon) exprime la distance du point à un point central appelé pôle (équivalent à l’origine des coordonnées cartésiennes). La coordonnée angulaire (également appelée angle polaire ou azimut, et souvent notée t ou θ) exprime la mesure, dans le sens trigonométrique, de l’angle entre le point et la demi-droite d’angle 0°, appelé axe polaire (équivalent à l’axe des abscisses en coordonnées cartésiennes).

Par exemple, le point de coordonnées polaires (3;60°) sera placé à trois unités de distance du pôle sur la demi-droite d’angle 60°. Le point (-3 ;-120°) sera au même endroit car une distance négative sera considérée comme une mesure positive sur la demi-droite opposée par rapport au pôle (tournée de 180° par rapport à la demi-droite d’origine).
L’un des aspects importants du système de coordonnées polaires, qui n’est pas présent dans le système cartésien, est qu’il existe une infinité de coordonnées polaires désignant un même et unique point. En effet, on peut rajouter des mesures d’un tour complet sans affecter l’emplacement du point. Par exemple, le point (3;420°) est confondu avec le point (3;60°). En général, le point (r;θ) peut être représenté par (r;θ ± n×360°) ou (−r;θ ± (2n + 1)180°), où n est un entier quelconque.

Les coordonnées arbitraires (0;θ) sont conventionnellement utilisées pour représenter le pôle, sans se soucier de l’angle θ, un point de rayon r=0 sera toujours sur le pôle. [8] Pour obtenir un unique représentant du point, on limite le rayon aux réels positifs et l’angle entre -180° et 180° (ou 0° et 360°), ou si l’on utilise les radians entre –π et π (ou 0 et 2π). On dit que l’angle est donné modulo 360° ou 2π.

L’angle en notation polaire est généralement donné en degrés ou radians, en utilisant la convention 2π=360°. Le choix dépend du contexte. En navigation, les degrés sont de rigueur, alors que certaines applications physiques (comme l’étude des rotations en mécaniques) et la plupart des mathématiques utilisent les radians.

Les deux coordonnées polaires r et θ peuvent être converties en coordonnées cartésiennes x et y en utilisant les fonctions trigonométriques sinus et cosinus :
x = rcosθ
y = rsinθ
Deux coordonnées cartésiennes x et y peuvent être converties en coordonnée polaire r par :
(par une simple application du théorème de Pythagore).